绝户网视频:主振型的正交性
来源:百度文库 编辑:中财网 时间:2024/10/05 11:13:20
主振型的正交性
● 在同一体系中,不同的两个固有振型之间,无论对于质量矩阵[M]或是刚度矩阵[K]都具有正交性质。
● 利用这一特性,一是可以将n个自由度体系计算简化为n个单自由度体系的计算(主要应用于在任意干扰力作用下的强迫振动),二是可以检查主振型计算正确与否(判断主振型的形状特点)。
(一)主振型的第一正交性
图4-77
图4-77(a)和(b)分别表示两个自由度体系的第一主振型曲线和第二主振型曲线,及所对应的惯性力幅值。应用虚功互等定理,可得
移项后,可得
如果 ,则有
(4-83)
上式就是两个主振型对质量正交的性质。
例如,在图4-77(a)、(b)中,如果质量分布和刚度均对称,则,,,代入上式,得
(-1)=0
上述正交关系的一般情形可表述如下:
设体系具有n个自由度。 和 为两个不同的频率,相应的两个主振型向量分别为:
体系的质量矩阵为:
则第一正交关系为:
(4-84a)
即
(4-84b)
上式表明,具有n个自由度体系的第主振型和第k主振型对质量正交的性质,称为第一正交性。
(二)主振型的第二正交性
将 和 代入式(4-76)得
上式两边左乘 ,得
由于 (第一正交性),于是得到
(4-85)
上式表明,具有n个自由度体系的第主振型和第k主振型,对于刚度矩阵正交的性质,称为第二正交性。
(三)振型正交的物理意义
因为 (第一正交性),所以虚功
由此,振型的正交性可理解为:体系按某一振型振动时,它的惯性力不会在其它振型上作功,也就是说,它的能量不会转移到其它振型上去,因此各主振性可单独存在。
【例4-25】试验算例4-23所求得的各个主振型之间的正交性。
解:
由例4-23已知
,
,
由式(4-84a)得
上述计算验证了各主振型之间满足正交性,说明频率和振型计算是正确的。