什么是论文写作技巧:关于两堂“变化率问题”课的思考

本次课题研讨会中安排的两节“变化率问题”课的教学设计差别很大，出现的问题也不少，因此引发了很多争论。下面，就三个方面谈谈对本课的思考。

1．教学内容的安排

    在教科书中，“3.1 变化率与导数”划分为两部分“3.1.1 变化率问题”和“3.1.2导数的概念”，建议4课时。教师甲的教学内容就是“3.1.1变化率问题”，即平均变化率及其几何意义；教师乙的教学内容是“3.1.1变化率问题”和“3.1.2导数的概念”中的瞬时变化率。研讨的时候，大多数老师认为，教师乙的教学内容安排比较好，一是内容比较丰满，二是展现了从平均变化率到瞬时变化率的完整过程。如果教学设计做得好，那么从平均变化率到瞬时变化率会是一堂非常精彩的课。因为，这个知识本身的内涵就很丰富，而且教学设计的变化点也很多。相比之下，如果一堂课只是讲平均变化率及其几何意义，似乎就会单薄、逊色很多，特别是公开课的时候。但是，如果放大这两节课的一个共同点，即使只有平均变化率及其几何意义这个知识点，这堂课也能收到满意的效果。这个共同点，就是两位老师不约而同都提到的微积分的发展史，只是，他们对微积分发展史的介绍过于简单和粗糙，上完课，学生可能对此一点印象都没有留下。

我们总是说，要让学生接受数学文化的熏陶、体会数学的价值，但是在课堂上，却做得很少。像微积分这样有文化底蕴的数学内容，为什么不抓住这绝好的时机介绍它的发展史呢，更何况是在引入微积分的时候。在这里，发展史的介绍不仅仅是文化上的熏陶，还有更多的作用，比如了解微积分的概貌及其在数学中的位置；相关数学家的工作，既能让学生看到智慧之光，又能让学生从两千年的艰辛历程中明白即使在学习中有些困惑疑难也并不奇怪，坚持思考是通向成功之门的钥匙；有关微积分起源的具体例子的列举，像计算抛物线弓形的面积（建筑物的上顶）、求速度的问题（高台跳水）等，会引发学生的求知欲。所以，精心组织微积分发展史的素材，融入到本课教学内容中，应该是微积分起始课的“当然任务”。

在教学设计中需要注意，历史的介绍应该是生动有趣的，有中心、有问题、有事例、有思考等。例如，微积分起源于四类问题，如果用具体的例子进行说明，学生就会比较有感觉，而不会太空洞，像起源问题之一的运动速度就可以选用教科书中的高台跳水例子辅助说明。同时，借助于这个例子还可以从历史的介绍自然地过渡到变化率的学习上，如此一来，历史的介绍和数学知识的学习就结合为一个整体。在这种设计下，也不必顾虑是否这节课的数学知识太少了，因为并不是每一堂数学课都要有那么紧凑的数学知识，不同类型的数学课承担的作用应该有所不同，像微积分的起始课，就应该承担起以上所说的那些作用。

2．气球膨胀率的问题

气球膨胀率和高台跳水是变化率问题中的两个例子，由它们抽象概括出了平均变化率的数学定义。比较一下这两个例子，高台跳水体现了微积分中的经典问题即速度问题，而且教科书直接给出了高度和时间的函数关系式，学生对速度问题又很熟悉，所以这个问题是比较简单的；气球膨胀虽然也是学生非常熟悉的生活现象，但是从这种直观的生活感知（气球越来越难吹）到它的数学描述，是很不容易的，因此，这个问题是比较困难的。这一点，从这两堂课也可以得到印证。不过，如果细想一下，气球膨胀率这个问题还是非常有意思的。它的基础是学生熟悉的，即每个学生都吹过气球，都有这种感受：越来越难吹。那么，如何从数学上说明气球越来越难吹呢？解答问题的过程需要学生具有一定的将实际问题抽象成数学问题的能力，或者说通过解答这个问题，可以培养学生“数学化”能力。而问题的指向，即其中包含的数学知识，就是本堂课的知识点——平均变化率。教学中的难点，就是如何帮助学生将实际问题抽象成数学问题。这两堂课，在“抽象”这一点上做得都不成功。

首先，从数学上说明气球越来越难吹这个问题可以让学生自由地去思考，但是，教师并没有提供这个机会，所以，我们不知道学生会想到什么，这是非常可惜的。从实际问题抽象到数学问题，有这样四个层次：（1）“气球越来越难吹”是一个运动变化的过程，这种变化涉及到吹进去的气体，即气球空气容量（体积），还涉及到气球的膨胀，即气球半径，这从如右所示的平面图中可以清楚地看出来。（2）“气球越来越难吹”实际上就是当气球膨胀的增长量相同时，需要吹进去的气体会越来越多；也可以解释为，当吹进去的气体相同时，气球膨胀越来越慢，即气球半径的增加量越来越小。（3）如果从数学上说明，那就是写出气球中空气容量（体积）和气球半径的关系式，然后计算一下，看看是否如此。（4）选择（2）中两个解释角度中的一个，教科书选择的是后者，于是写出气球半径r和气球体积V的关系，然后计算比值的具体数值。事实上，这里的就是平均膨胀率。

如何充分发挥这个例子的作用呢？教师乙的做法给了我们一点启发，即调整教科书对于这个例子的安排。就用高台跳水引入平均变化率的定义和符号表示，然后介绍其几何意义，最后将气球膨胀率作为平均变化率的一个应用。这样，既能避免由于气球膨胀问题本身的复杂性导致的困难，干扰平均变化率定义的学习，又能充分发挥其价值，培养学生将实际问题抽象为数学问题的能力以及认识到平均变化率的应用。

3．重视微积分的思想

    这两节课最大的问题就是对微积分思想的忽视，所以，整堂课给人的感觉就是聚焦于计算、符号表示这些方面，从而失去了主心骨。在“导数及其应用”这一章，无不渗透着无穷逼近、以直代曲这些精彩的微积分思想，所以每一堂课都应努力去体现这些思想。那么，如何体现呢？数学思想是内隐的，是蕴含在数学概念和方法里的。所以，数学概念和方法是数学思想的载体，教学就必须要通过概念和方法突出相应的思想，并用它来统帅全局。下面，就以教师乙的课堂教学为例加以说明。

    教师乙的教学设计是从平均变化率到瞬时变化率，形成导数概念。这个“平均到瞬时”的过程就蕴含了无穷逼近的思想，正是这种思想让我们一箭双雕，既建立了导数概念，又找到了计算的方法。所以，非常重要的一点就是意识到我们是如何去计算的，如何去建立概念的，这种本源的思想的指引性一定要表现出来，让学生清楚。当然，对于学生来说，这是一种充满新意的思想，虽然是那么地自然但又有点不可思议。所以，在教学中，应该充分展现平均到瞬时的过程，而且更重要的是一定要让学生充分地思考和探究。

怎样充分展现这个过程？怎样让学生充分地思考和探究呢？

首先，指明困难所在。比如就用高台跳水的例子直接要求学生思考速度是什么，例如t=2秒时的速度是多少。如果仍然按照平均速度的定义方式，距离除以时间，那么运动员在t=2这个时刻只有一个位置，距离和时间都是0，所以，平均速度的这种定义方式是无法扩展到瞬时速度上的。这是一种概念上的困难，需要全新的思想。在教学中，应该让学生看到这种困难，否则就不会体会到寻求新思想的必要性，也难以激活他们的思维。值得注意的是，此时应该保证学生独立思考的时间，只有独立思考了，才能意识到这种困难的深刻性，才能在“那该怎么办”的指引下前进。

其次，用想法指引计算。虽然是通过选取一系列的，计算的值去观察逼近的趋势，建立瞬时速度的概念。但是计算并不是重点，而且逼近趋势的观察也并不困难，关键在于为什么去选取一系列的，计算的值。所以，应该是先指引学生获得解决困难的想法，即思想的雏形，然后在这个想法的指引下再去计算。无论教师是从近似计算的角度开启这种想法，还是从别的什么角度，至少应该明白所要指向的定义是在一个动态变化的过程中完成的，这与平均速度的静态定义方式截然不同，而这正是无穷逼近的思想。

最后，符号表示辅助理解。数值计算的表格（如教科书第4页的表格）可以非常直观、清晰地显示出逼近的趋势，从中可以看到，当趋近于0时，平均速度都趋近于一个确定的值－13.1。但是，时间间隔的缩小是一个无穷无尽的过程，有限的几次计算，就能得出－13.1这个确定的结果吗？此时，符号会让我们将问题看得更清楚。这就是教科书表格中给出这个符号表示的原因，利用它，即使是无限的过程也没关系，当趋近于0时，平均速度确实趋于－13.1。所以，利用表格和符号这两个工具，就可以帮助学生更好地认识无限逼近有限这种思想。

4．教学设计的简单思路

基于以上思考，“变化率与导数”可以划分为“变化率问题”“建立导数概念”“导数概念的理解”“导数的几何意义”4个课时。针对以上两堂“变化率问题”课，下面给出前两个课时教学设计的简单思路供参考。

第1课时为“变化率问题”。

教学目的：

（１）理解平均变化率及其几何意义，这一点可以用高台跳水的例子实现；

（２）培养学生将实际问题抽象成数学问题的能力，这一点可以通过气球膨胀率作为平均变化率的应用实现；

（３）了解微积分在数学发展中的作用，感受数学家的智慧和精神，这一点通过史料的介绍实现。

教学流程：

微积分的发展史—高台跳水问题—平均变化率及其几何意义—气球膨胀问题。

第2课时为“建立导数概念”。

教学目的：

（1）建立瞬时速度的概念，通过探求高台跳水某一时刻的瞬时速度这一问题得以实现；

（2）形成导数定义，这一点是在反思瞬时速度建立过程基础上，总结思想和计算方法，由特殊到一般形成的；

（3）了解无穷逼近的思想，这主要是在探求瞬时速度的过程中和数值计算后观察变化趋势时实现的。

教学流程：

回顾高台跳水问题—提出问题、明确困难—探究解决困难的想法—实施想法，即数值计算—观察数值计算趋势、形成初步结论—通过符号运算，确定结论，建立瞬时速度概念—反思建立概念的过程，总结思想和方法—模仿操作，建立（气球）瞬时膨胀率概念—概括这两个问题的共同点，形成导数定义。