祸水泱泱的作品:一元一次方程指导
一、复习目标
1.知道方程、方程的解、等式的基本性质以及一元一次方程及其相关的概念.
2.能灵活解数字系数的一元一次方程,并体验解方程中蕴含的转化思想.
3.能以一元一次方程为工具解决一些简单的实际问题,包括列方程,求方程的解和解决结果的实际意义及合理性,提高分析问题、解决问题的能力.
4.在经历建立方程模型解决实际问题的过程中,体会数学的应用价值,体验在生活中学数学,在生活中用数学的过程.
二、重要知识点回顾
1.方程
(1)方程的定义:含有 的等式叫做方程.
(2)方程的解:能够使方程左、右两边的值相等的 的值叫做方程的解.
(3)解方程:求方程 的过程叫做解方程.
2.一元一次方程:只含有一个未知数,并且未知数的 ,这样的方程叫做一元一次方程.
3.解一元一次方程的步骤:
①去分母:在方程的两边都乘以各分母的 .注意不要漏乘不含分母的项,分子为多项式的要加上括号;
②去括号:一般先去 ,再去 号,最后去 .注意不要漏乘括号里的项,当括号前是“-”时,去掉括号时注意括号内的项都要变号;
③移项:将含有未知数的项移到方程的一边,不含未知数的项移到方程的另一边.注意移项要 ,移项和交换位置不同;
④合并同类项:将同类项合并成一项,把方程化为ax=b(a≠0) 的形式.注意只合并同类项的 ;
⑤系数化为1:在方程ax=b的两边都除以a,求出方程的解x= .注意符号,不要把方程ax=b的解写成x=
4.列方程解应用题的步骤:
(1)审:弄清题意,正确理解,准确把握题目条件中的即已知量和未知量,必要时可用图表辅助分析;
(2)设:设出未知数,将题设条件中的语句都“翻译”成含有“字母”的代数式;
(3)列:寻找等量关系,列出方程;
(4)解:解方程,求出未知数的值;
(5)验:检验所求的未知数的值是否是所列方程的解,受否符合题意;
(6)答:根据题意写出答案.
5、实际问题的常见类型
(1)日历问题:① 相关公式:上下相邻的两个数都相差7 ;前后相邻的两个数都相差1 ;
②相等关系:由几个相邻数的和, 求各天的具体日期.
(2)储蓄问题: ① 相关公式:利息=本金×利率×期数×(1-20%)(20%为利息税);
②相等关系:本息和=本金+利息.
(3)打折销售问题:①相关公式:利润率=利润÷进价;
商品售价 = 商品标价×商品销售折扣;
商品售价 = 商品进价×(1+商品利润率)
②相等关系:利润=售价-进价;
商品进价×(1+商品利润率) =商品标价×商品销售折扣.
(4)等积变形问题:①相关公式:长方体的体积=长×宽×高;圆柱的体积=底面积×高等.
②相等关系:变形前的体积=变形后的体积.
(5)和差倍分问题:①相关公式:增长量=原有量×增长率;
②相等关系:现有量=原有量+增长量,现有量=原有量-降低量.
(6)工程问题:①数量关系:工作量=工作时间×工作效率.
②相等关系:总工作量=各部分工作量的和.
(7)行程问题:①相关数量关系:路程=时间×速度;
②相等关系:相遇问题:两者路程和=总路程;
追及问题:两者路程差=相距路程;
航行问题:顺流(风)速=静水(风)速+水流(风)速;
逆流(风)速=静水(风)速-水流(风)速.
(8)成龙配套问题:①相关数量关系:某物体的数量是另一个物体的几倍;
②相等关系:每天每人的工作效率×人数=每天的工作量(产品数量).
(9)数字问题:多位数的表示方法:abcd是一个多位数,它可表示为:abcd=a×103+b×102+c×10+d,其中a、b、c、d均为大于或等于0而小于10的整数.
(10)社会的热点问题:以实物信息题、对话信息题为主要类型.
四、思想方法
1、方程思想:就是把未知数用字母表示,并将字母看成已知数,让字母和已知数一同参与运算,这就是方程思想.很多问题用方程思想来解决,往往比其他方法简捷的多.
2、转化思想:解一元一次方程,就是把形式比较复杂的方程,逐步化简为最简形式:ax=b(a≠0).进而写出方程的解x=
3、数形结合思想:是指在研究问题的过程中,由数思形、由形思数,把数与形有机的结合起来分析问题的思想方法.本章列方程解应用题常用这种方法.
4、整体思想:在解方程或列方程时,把某一部分看成一个整体来处理的方法.
五、易错点例析
1、错于移项
例 1 解方程 4x - 2 =3 - x .
错解:移项,得 4x - x = 3 - 2.
合并同类项,得3x = 1.
方程两边同除以3,得x =
分析:方程中的某一项从方程的一边移到另一边,应改变符号,而上述并没有改变符号.
正解:移项,得4x + x = 3 + 2.
合并同类项,得5x =5.
方程两边同除以5,得x =1.
2、错于去分母
(1)去分母时漏乘不含分母的项
例 2 解方程
错解:去分母,得 4(2x - 1)= 3(x + 2)- 1 .
去括号,得8x – 8 = 3x + 6 – 1.
移项、合并同类项,得5x = 13.
方程两边同除以5,得x =
分析:去分母时,方程两边都乘各分母的最小公倍数,而上述解法漏乘了方程右边不含分母的项“1”.
正解:去分母,得 4(2x - 1))= 3(x + 2)-12.
去括号,得8x – 8 = 3x + 6 – 12.
移项、合并同类项,得5x = 2.
方程两边同除以5,得x =
(2)去分母时漏添括号
例 3 解方程
错解:去分母,得 4x + 2 - 5x - 1 = 6 .
移项、合并同类项,得x = -5.
分析:上述错误是忽视了分数线的双重功能,即分数线不仅具有“除号”作用,而且还具有“括号”作用. 因此去分母时,不要忘记给分子加上括号,特别是最小公倍数与分母相等时更要注意.
正解:去分母,得2(x + 1) -(5x - 1)= 6 .
去括号,得2x + 2 – 5x + 1 = 6.
移项、合并同类项,得-3x = 3.
方程两边同除以-3,得x =1.
3、错于去括号
例 4 解方程 11x + 1=5(2x + 1).
错解:去括号,得11x + 1= 10x + 1.
移项、合并同类项,得x = 0.
分析:运用乘法分配律去括号时,用括号外面的数去乘括号内的每一项,再把积相加. 上述解法只乘了括号内的第一项.
正解:去括号,得11x + 1= 10x + 5.
移项、合并同类项,得x = 4.
4、错于把未知数的系数化为1
例 5 解方程 2x + 5 = 10 - 8x .
错解:移项,合并同类项,得 10x = 5 .
系数化为1,得 x = 2 .
分析:把方程10x = 5中x的系数化为1时,两边都除以10即10为除数,应得x =
5、错于化小数为整数
化分母的小数为整数时混用分数基本性质和等式基本性质
例 6 解方程
错解:原方程变形为:
去分母,得2(10x + 10)-(30x -10)= 40.
移项,合并同类项,得-10x =10.
方程两边同除以-10,得 x = -1.
分析:原方程为了把分母0.2和0.4化为整数,利用分数基本性质将
正解:原方程变形为:
去分母,得2(10x + 10)-(30x -10)= 4.
移项,合并同类项,得-10x = -26.
方程两边同除以-10,得 x =2.6.
六、重要考点例析
1. 一元一次方程的定义
和一元一次方程的定义有关的题目主要有:(1)识别所给的方程哪个是一元一次方程;(2)根据实际问题中的数量关系列出方程.(3)根据方程的根,写出方程.
例1例1下列方程中,属于一元一次方程的是( )
A.
析解:要判断一个方程是不是一元一次方程,主要看这个方程是否满足一元一次方程的条件:(1)只含有一个未知数;(2)未知数的指数为1;(3)必须是整式方程,简单地说分母中不含有未知数的方程.答案C具备这三个条件,故答案应选C.
评注:判断一个方程是否是一元一次方程,其主要依据一元一次方程的定义.
例2某班分两组去两处植树,第一组22人,第二组26人.现第一组在植树中遇到困难,需第二组支援.问第二组调多少人去第一组才能使第一组的人数是第二组的2倍?设抽调
A.
C.
析解:要选择正确的方程,首先要从问题中找到相等关系,然后用含有x的代数式表示各种量,列出方程.本题应用x表示从第二组抽调人数,则第一组人数达到(22+x)人,第二组为(26-x)人,根据抽调后第一组的人数是第二组的2倍,所以列出方程22+x=2(26-x).故应选B.
评注:根据实际问题列方程,其实质是用字母表示出各个数量关系,依据相等关系列出方程.
例3已知
析解:根据方程解的定义,将x=5代入方程
评注:已知方程的解求参数的值,是一种逆向思维.根据方程解的意义和解方程的意义即可求得.
2.解一元一次方程
解一元一次方程的一般步骤是:去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等,把一个一元一次方程“转化”成x = a的形式. 根据题意可交换顺序,去分母注意没有分母的项也同乘分母的最小公倍数,移项要改变符号,最后要形成检验的习惯.
例4解方程:
解:去分母,得3(x-1)-12=2(2x+1)
去括号,得3x-3 -12= 4x+2
移项,得3x-4x= 2+3+12.
合并同类项,得-x= 17
系数化为1,得x=-17.
评注:方程中含有分母,一般应先去分母,特别注意要防止漏乘不含分母的项和分数线的括号作用.
例5解方程
分析:解一元一次方程时,有括号的一般方法是先去括号.根据方程的特点有时不先去括号反而简单.
解:移项,得
合并同类项,得x-3=2,
移项,得x=5
评注:本题运用了整体思想,即将(x-3)看做一个整体,达到灵活求解的目的,在解方程时,一定要认真观察方程的特点,选择灵活的方法求解.
3.列方程解实际问题
列方程解实际问题,特别是社会的热点问题,是一个重点,也是考试中的一个热点.列方程解实际问题的关键是从实际问题中找出相等关系,并通过设未知数,根据相等关系列出方程.
例6请你替小健同学解答以下问题:
分析:根据图画息型知,购买名著的费用=(65×20)元,购买辞典的费用=购买辞典的本数×辞典的单价40元,购买辞典的费用+购买名著的费用=2000.根据相等关系即可列出方程,问题得以解决.
解:设还能买词典x本. 根据题意,得
40x+65×20 = 2000,
解得,x = 17.5.
由于x为整数,所以x=17(本)
Z 共55元 共90元 Z Z
评注:解决本题的关键是从图画息型中找到相等关系.本题所隐含的相等关系是:购买辞典的费用+购买名著的费用=2000.
例7母亲节那天,很多同学给妈
妈准备了鲜花和礼盒.从图中信息可知
一束鲜花的价格是多少元?
分析:本题以实物图形给出数据
信息,具有直观、形象的特点.由图中
可知,一束鲜花的钱+两个礼盒的钱=
55元,两束鲜花的钱+三个礼盒的钱=
90元,由此可设鲜花的单价为x元,则
礼盒的单价为
解:设鲜花的单价为x元,则礼盒的单价为
2x+3×
所以一束鲜花的价格是15元.
评注:当一个实际问题中包含两个相等关系时,根据其中一个相等关系设出未知数,则根据另一个相等关系列方程.
例8某酒店客房部有三人间、双人间客房,收费数据如下表.
为吸引游客,实行团体入住五折优惠措施.一个50人的旅游团优惠期间到该酒店入住,住了一些三人普通间和双人普通间客房.若每间客房正好住满,且一天共花去住宿费1510元,则旅游团住了三人普通间和双人普通间客房各多少间?
分析:本题是一道表格信息题.通过观察表格信息,可设三人普通房共住了
解:设三人普通房共住了
根据题意,得
解得 x = 24,即50-x = 26.
且
答:三人间普通客房、双人间普通客房各住了8、13间.
评注:表格信息型问题要求学生依据所给出的信息通过整理、分析以及加工等手段进行解答的一类实际应用问题. 其主要考查学生阅读表格和处理信息的能力.
例9为净化空气,美化环境,我市冷水滩区在许多街道和居民小区都种上了玉兰和樟树,冷水滩区新建的某住宅区内,计划投资1.8万元种玉兰树和樟树共80棵,已知某苗甫负责种活以上两种树苗的价格分别为:玉兰树300元/棵,樟树200元/棵,问可种玉兰树和樟树各多少棵?
分析:随着时代的进步,保护环境,美化环境,成了人们关注的问题.本题取材于社会的热点问题,解决问题的关键是认真分析题意,找出相等关系.
解:设种玉兰树
300x+200(80-x)=18000,
解得,x=20,即80-x =60.
答:可种玉兰树20棵,樟树60棵.
评注:解决本题的关键是找到相等关系,即玉兰树的费用+樟树的费用=18000,注意统一单位.